التفاضل

هو أحد فروع علم الرياضيات وهو يعنى بمقدار تناسب التغير عند نقطة معينة في علاقة ما، ورياضياً مفاضلة الدالة(أو التابع) عند نقطة معينة هو مقياس لمقدار تغير متغير بالنسبة

عزيزي الطالب ، سوف أذكر لك قواعد التفاضل (الاشتقاق)لجميع الدوال التي تدرسها ، ثم نعرج بين الفينة والأخرى لبعض التطبيقات عليها :

ملاحظة : ص = د(س) ، صَ = تسمى مشتقة الدالة د .

أولا : مشتقة أي دالة على شكل كثيرة حدود :

نشتق كل حد على حده بحيث نضرب في الأس ثم نطرح منه 1 .

مثال : د(س) = س^5 + 3س^2 - 7

صَ = 5س^4 + 6س - 7 .

ثانيا : مشتقة ضرب دالتين :

= (الأولى) . (مشتقة الثانية) + (الثانية) . (مشتقة الأولى) .

مثال : ص = (3س + 1) . (س^2 - 7س) .

صَ = (3س + 1) . (2س - 7) + (س^2 - 7س) . (3) .

= 6س2 - 21س + 2س - 7 + 3س^2 - 21س .

= 9س^2 - 40س - 7

ثالثا : مشتقة قسمة دالتين :

= [(المقام) . (مشتقة البسط) - (البسط) . (مشتقة المقام)] ÷ (المقام)^2

مثال : ص = س + 3 / 2س .

صَ = (س + 3)^2 / 6 ( عليك تفصيل الحل) .

رابعا : مشتقة دالة مرفوعة لقوى عدد ن ( )^ن

= ن ( )^ن- 1 (مشتقة ما بداخل القوس) .

مثال : ص = (س^2 - 9س + 5)^7

صَ = 7 (س^2 - 9س + 5)^6 . (2س - 9)

خامسا : مشتقة دالة جذرية :

= مشتقة ما تحت الجذر ÷ 2. الدالة الجذرية

سادسا : مشتفة الدالة الأسية

ص = (هـ)د(س) 000 صَ = (هـ)د(س) × دَ(س) ، ( هـ = 2.7183 أو e = 2.7183) .

ص = (عدد)د(س) 000 صَ = (عدد)د(س) × دَ(س) × لو عدد

مثال : ص = (هـ)2س - 5 000 صَ = (هـ)2س - 5 × 2

ص = (7)5س + 3 000 صَ = (7)5س + 3 × 5 × لو7 .

سابعا : مشتقة الدالة اللوغاريتمية

ص = لو د(س) 000 صَ = دَ(س) ÷ د(س) .

ملاحظات :

- لو هـ = 1 ، لو 1 = 0 .

- لوس + لوص = لو (س × ص)

- لوس - لوص = لو (س ÷ ص)

- لو س ن = ن لو س

ثامنا : مشتقات الدوال الدائرية

الدالة .000000000000000000000000000تفاضلها
جا زاوية 000000000000000000000 جتا الزاوية × تفاضل الزاوية 0
جتا زاوية000000000000000000000- جا الزاوية × تفاضل الزاوية

ظا زاوية00000000000000000000000قا2 الزاوية × * * *
0ظتا زاوية000000000000000000000- قتا2 الزاوية × * *
قا زاوية 0000000000000000000000قا الزاوية × ظا الزاوية × تفاضل الزاوية
قتا زاوية0000000000000000000000- قتا الزاوية × ظتا الزاوية × تفاضل الزاوية

مثال : ص = جتا (س^3 - 2س) 000 صَ = -جا(س^3- 2س) × (3س^2 - 2) . أكمل ....

قـاعدة التسلسل

لتكن ع = د(ص) ، ص = د(س) فإن :


د ع / د س = د ع / د ص × د ص / د س
مثال : إذا كان ص= س^2 + س ، ع = ص^2 ، فإن :

د ع / د س = د ع / د ص × د ص / د س

= 2ص × (2س +1)

= 2(س2 + س) × (2س +1)

= 4س3 + 6س2 + 2س

ملاحظة : الاشتقاق المباشر : هو أن نكتب ع بدلالة س ثم نفاضل

في المثال السابق ع = (س2 + س)2